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　　為了快速精確地建立機(jī)床幾何誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的參數(shù)化建模方法。首先針對(duì)測(cè)量得到的機(jī)床基本幾何項(xiàng)數(shù)據(jù)，將機(jī)床相應(yīng)運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)給量轉(zhuǎn)化為切比雪夫變量。其次將切比雪夫變量代入不同階次的切比雪夫多項(xiàng)式得到相應(yīng)的值。然后根據(jù)切比雪夫基函數(shù)值和切比雪夫變量用多元線性回歸方法獲得相應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于切比雪夫基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。最后將運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)給量與切比雪夫變量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系代入得到基本幾何誤差項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型。

　　建模過程簡(jiǎn)單且易程序化，切比雪夫多項(xiàng)式的高逼近精度使得建立的模型精度高。將所有幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床幾何誤差模型綜合數(shù)學(xué)模型，從而可得到機(jī)床工作空間幾何誤差場(chǎng)分布。以MV-5A 三軸立式加工中心為例，將各個(gè)幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床幾何誤差模型中得到該機(jī)床綜合幾何誤差數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到該機(jī)床工作空間幾何誤差場(chǎng)分布，為機(jī)床設(shè)計(jì)和誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。

　　國產(chǎn)小型加工中心數(shù)控機(jī)床價(jià)格

　　引言

　　隨著制造業(yè)的快速發(fā)展以及工件精度要求和復(fù)雜度的提高，對(duì)機(jī)床精度的要求越來越高。機(jī)床幾何誤差和熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要因素，占60%以上［1 － 2］。而幾何誤差的建模和補(bǔ)償是提高機(jī)床精度的一種重要途徑。數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模大多是基于多體理論建立齊次變換矩陣得到機(jī)床幾何誤差［3 － 6］。同時(shí)坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系和指數(shù)積理論也分別被用來進(jìn)行誤差建模和補(bǔ)償［7 － 9］。根據(jù)模型進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那疤崾菙?shù)控機(jī)床基本幾何誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)。三軸數(shù)控機(jī)床的21 項(xiàng)幾何誤差可通過激光干涉儀、球桿儀、激光跟蹤儀等裝置采用相應(yīng)的測(cè)量方法得到。得到的誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)是離散數(shù)據(jù)，反映了機(jī)床行程一系列點(diǎn)的誤差，這就需要建立機(jī)床基本誤差項(xiàng)的參數(shù)化模型，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。很多學(xué)者采用了不同的方法來建立基本誤差項(xiàng)的模型［10 － 11］。Fan 等［12］引入正交多項(xiàng)式回歸法根據(jù)測(cè)量得到的誤差數(shù)據(jù)建立機(jī)床主軸熱誤差模型，又采用正交多項(xiàng)式回歸法建立機(jī)床幾何誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型［13］。Lee 等根據(jù)幾何誤差項(xiàng)的性質(zhì)建立了合理的多項(xiàng)式模型，然后進(jìn)行誤差測(cè)量辨識(shí)得到相應(yīng)的系數(shù)［14］。

　　切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近方面比泰勒展開式有更高的精度。切比雪夫多項(xiàng)式已經(jīng)在數(shù)字信號(hào)處理、衛(wèi)星軌道、氣象學(xué)中得到廣泛應(yīng)用［15］。相比于最小二乘法多項(xiàng)式擬合，隨著擬合次數(shù)的增加，切比雪夫多項(xiàng)式各部分誤差減小，精度增加［16］。本文提出一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的機(jī)床幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化建模方法。首先根據(jù)辨識(shí)得到的數(shù)據(jù)，結(jié)合幾何切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)，將機(jī)床位移變量進(jìn)行變換。然后計(jì)算得到各個(gè)不同次數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)的系數(shù)，接著代入機(jī)床位移變量轉(zhuǎn)換關(guān)系展開得到相應(yīng)的幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型。將幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床綜合幾何誤差模型得到相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，從而可計(jì)算得到機(jī)床誤差場(chǎng)分布，為機(jī)床設(shè)計(jì)和補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)。

　　1、 數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模

　　三軸數(shù)控機(jī)床有21 項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)。因?yàn)槊總€(gè)物體在空間上存在6 個(gè)自由度，所以每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸存在6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)，包括3 項(xiàng)線性誤差和3 項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差。圖1 表示了X 軸的6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)。其中δxx、δyx、δzx分別是X、Y、Z 方向的線性誤差，εxx、εyx、εzx分別表示繞X、Y、Z 軸的轉(zhuǎn)角誤差。同時(shí)由于安裝制造等原因，各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸之間很難保證絕對(duì)的垂直，所以運(yùn)動(dòng)軸之間存在垂直度誤差。其中X 軸和Y 軸之間的垂直度誤差為Sxy，X 軸和Z 軸之間的垂直度誤差為Sxz，而Y 軸和Z 軸之間的垂直度誤差為Syz。那么三軸數(shù)控機(jī)床存在18 項(xiàng)幾何誤差和3 項(xiàng)垂直度誤差。

圖1 X 軸6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)示意圖

　　幾何誤差建模是誤差補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。本文以三軸立式加工中心MV-5A 為例，為XYFZ 型機(jī)床。圖2 所示為XYFZ 型機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。該三軸數(shù)控機(jī)床可視為一個(gè)開環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈，該運(yùn)動(dòng)鏈為工作臺(tái)—X 軸—Y 軸—床身—Z 軸—刀具。可以采用指數(shù)積理論對(duì)機(jī)床進(jìn)行幾何誤差建模，那么機(jī)床刀具相對(duì)于工作臺(tái)的位置誤差可表示為:

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